Решение одной из задач гидрологии с использованием степенных рядов и преобразования Лапласа

Abstract

В работе рассматривается модель многолетних колебаний речного стока, полученная на основе стохастического дифференциального уравнения Орнштейна – Уленбека. Рассматриваемый процесс, который является однородным по времени марковским процессом диффузионного типа, с соответствующим коэффициентом сноса и диффузии, дает возможность оценить математическое ожидание распределения вероятностей изменения речного стока. Этот параметр является решением дифференциального уравнений второго порядка с краевыми условиями, полученными на основе уравнения Фоккера – Планка и обратного уравнения Колмогорова для переходной плотности вероятности. В отличие от использования численного интегрирования этого дифференциального уравнения, в работе получено решение, представленное в виде степенного ряда. Для этого в работе используются различные подходы к решению дифференциального уравнения. Это и метод степенных рядов, который используется для нахождения решений дифференциальных уравнений в виде бесконечных степенных рядов, которые разлагаются по степеням переменной. Это и разложение функции в ряд Маклорена, который используется для нахождения решений дифференциальных уравнений. В работе также используется преобразование Лапласа, которое, как правило, применяется лишь для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Это дало возможность получить дифференциальное уравнение для функции изображения решения исходного дифференциального уравнения. Полученное дифференциальное уравнение для функции изображения было решено методом степенных рядов с получением соответствующих рекуррентных соотношений для членов степенного ряда и формул для их вычисления. Также использовалось обратное преобразование Лапласа для преобразования функции изображения в функцию оригинала, которая и является решением соответствующего дифференциального уравнения. Предлагаемая методика может быть использована для решения более широкого круга задач стохастической гидрологии.